数学江湖，从来不是一片平等的净土，而是等级森严、壁垒分明的 “阶级社会”。有人在贫民阶层挣扎，连加减都要掰手指头；有人身为九五之尊，随手下个圣旨，就能号令整个江湖。请对号入座，看看你在数学江湖中的地位！
第一级 乞丐 饭都吃不饱，只会整数加减运算，可能还会简单的整数乘除运算。
整数四则运算产生于约公元前8000年-前3000年（新石器时期）的两河流域、古埃及、中国黄河流域。
第二级 贫农 刚好能活着，还达不到温饱。
一、整数、分数、小数的四则运算
分数的四则运算产生于公元前3000年-前2000年（青铜时期）的古巴比伦、古埃及，于公元前5世纪-公元1世纪（铁器时期）成熟于中国、古印度。
小数的四则运算产生于公元3世纪的中国，代表作：刘徽《九章算术注》，得益于中国的位值记数法，从而产生了微数（小数）。
二、平面图形
长方形、正方形的周长与面积的计算产生于约公元前8000年-前3000年（新石器时期）的古巴比伦、古埃及、中国，代表作：古埃及《莱茵德纸草书》、《莫斯科纸草书》。
三角形的周长与面积的计算，产生于约公元前3000年-前600 年（青铜时期）的古巴比伦、古埃及；成熟于公元前3世纪的古希腊，代表作：欧几里得《几何原本》，公元前1世纪的中国、古印度，代表作：中国《九章算术》。
圆的周长和面积的计算，萌芽于公元前3000年的古巴比伦，因其最早创立角度60进制，约于公元前600年形成较完备的计算体系，不同地区的产地有：古巴比伦、古埃及、古希腊、古印度、中国，代表作：古埃及的《莱茵德纸草书》，古希腊：阿基米德的“穷竭法”，中国的《周髀算经》、三国时期刘徽（公元 3 世纪）的“割圆术”。扇形计算公式定型于公元前3世纪（古希腊），欧几里得确立比例关系，阿基米德推导出两种核心公式（角度比例式、弧长半径式）。
三、立体图形
长方体、正方体体积计算公式诞生于公元前3000年（青铜时期）的古巴比伦、古埃及，公元前3世纪（铁器时期），公元前3世纪古希腊欧几米德在《几何原本》中用公理证明公式合理性，西汉（公元前1世纪），中国《九章算术》开始出现公式的标准化和例题系统化。
圆柱体、圆锥体积经验估算产生于青铜时期（公元前3000年）的古埃及、古巴比伦；公式定型于公元前3世纪古希腊，阿基米德完成理论证明，公元前1世纪中国的《九章算术》提出标准化实用公式。
第三级 中农 已脱离贫困，刚达到温饱。
一、实数（有理数、无理数）与运算，公元5-12世纪的古印度数学家首次系统掌握了无理数的基本代数运算。
二、方程（一元一次、二元一次、一元二次）与不等式（组）
一元一次方程最早出现在公元前1800年-前1600 年（青铜时期）的古巴比伦（两河流域）、古埃及，代表作：《耶鲁泥板第 7289 号》、《普林顿泥板》《莱茵德纸草书》，公元前 1 世纪的中国，代表作：《九章算术》。
二元一次方程组：中国最早系统研究并给出通用解法，代表作：《九章算术》（公元前 1 世纪）的“方程术”已能解多元一次方程组，比西方早1500年左右；古巴比伦虽能解简单二元一次问题，但未形成体系。
一元二次方程：古巴比伦（公元前1800年左右）最早用几何方法求解具体的一元二次方程（正数解）；古希腊用几何证明补充理论，古印度（公元7世纪） 首次给出含负数解的一般公式；阿拉伯数学家花拉子米（公元9世纪） 完成系统总结，命名“代数”并确立一元二次方程的标准解法。
三、函数（一次、二次、反比例函数）的图象与性质
一次函数、二次函数：17 世纪笛卡尔建立平面直角坐标系后，实现 “直线几何” 与 “一次代数表达式” 的对应；18 世纪欧拉正式将其纳入函数体系，确立现代形式。17-18 世纪费马、牛顿、欧拉逐步完善其性质研究，确立二次函数的抽象概念。
反比例函数：古希腊发现其对应双曲线的几何原型；17 世纪笛卡尔、费马将双曲线与xy=k的代数形式关联；18 世纪欧拉正式定义为反比例函数，成为初等函数的重要组成部分。
四、图形与几何
勾股定理：古希腊（公元前 6 世纪） 毕达哥拉斯首次将其抽象为普遍（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），并因此得名 “毕达哥拉斯定理”。
全等三角形：古希腊（公元前3 世纪） 欧几里得在《几何原本》中首次给出严格定义、公理（公设）和判定定理，将其纳入平面几何的公理体系，成为几何证明的核心工具。
相似三角形：古埃及（公元前2000年左右）最早将其用于金字塔测量、土地划分（如利用 “影长法” 测金字塔高度），是实用层面的最早掌握；古希腊（公元前 6 世纪） 泰勒斯将其上升为几何原理，欧几里得（公元前3世纪） 在《几何原本》中给出严格定义和判定定理，完成理论系统化。
圆的性质（垂径定理、圆周角）
垂径定理：古埃及、古巴比伦（公元前 2000 年左右） 已通过作图发现 “垂直于弦的直径平分弦” 的实用性质，用于建筑、制圆；古希腊（公元前 3 世纪） 欧几里得在《几何原本》中给出严格的逻辑证明，并拓展了定理的逆定理和推论，完成理论系统化；中国古代数学虽掌握其实用技巧，但未形成严格定理表述。
圆周角定理：古希腊（公元前 5 世纪） 毕达哥拉斯学派首次发现 “圆周角与圆心角的关系”；公元前 3 世纪 欧几里得在《几何原本》中给出严格证明，确立 “同弧所对的圆周角是圆心角的一半” 的核心结论，成为圆的性质的核心定理；其他文明均未独立发现这一抽象定理，仅掌握圆周角的基础测量性质。
五、坐标几何（用坐标表示图形变换）
起源（16 世纪末）：法国数学家韦达创立符号代数，为几何问题的代数表示奠定基础；古希腊数学家阿波罗尼奥斯的圆锥曲线研究，为坐标几何提供了几何原型。
正式创立（17 世纪，核心突破）：笛卡尔（1596-1650） 和费马（1607-1665） 各自独立创立平面直角坐标系，首次实现 “几何点与有序数对”“几何曲线与代数方程” 的一一对应，标志着坐标几何的诞生。
完善与发展（17-19 世纪）：欧拉、拉格朗日等数学家完善了坐标系的符号体系。
第四级 富农 包含普通地主，满足衣食住行，有一定储蓄与消费能力，此前四级属于庶民阶层。
一、函数与代数
指数函数：指数的思想源于乘方运算，而指数函数的抽象化则晚至17世纪，费马、笛卡尔研究了简单的指数曲线，18 世纪，欧拉在《无穷分析引论》中，首次定义指数函数，并发现了自然常数e（约 2.71828），确立了自然指数函数的特殊地位。
对数函数：1614年，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，并编制了世界上第一张对数表；同期瑞士数学家比尔吉独立发明对数，但发表时间晚于纳皮尔。英国数学家布里格斯将纳皮尔的 “自然对数” 改进为常用对数（以10为底），更适合实际计算，对数表成为当时天文学家、航海家的必备工具。笛卡尔确立对数的符号，牛顿、莱布尼茨用微积分研究对数的性质；欧拉首次明确对数函数是指数函数的反函数，给出严格定义。
三角函数：起源最早可追溯到古代天文与测量，是三大函数中发展历程最长、与几何结合最紧密的一类。公元前2000年古巴比伦记录了弦长与角度的对应关系，是三角函数的雏形；公元前3世纪古希腊的托勒密在《天文集》中编制弦表（正弦表）；中世纪的阿拉伯数学家花拉子米、阿尔・巴塔尼继承印度成果，引入余弦、正切概念，编制了更精准的三角函数表，将三角函数推广到任意角。17世纪费马、牛顿研究了三角函数的图像与周期性。18世纪欧拉在《无穷分析引论》中，首次用指数形式表示三角函数，将三角函数与指数函数关联，完善了定义域（全体实数）、周期性、奇偶性等核心性质，确立了三角函数作为初等函数的地位。
二、导数与函数的单调性/极值
导数萌芽于古希腊的切线与运动问题，17世纪由牛顿（物理视角）和莱布尼茨（几何视角）各自独立创立微积分，给出导数的雏形；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯用极限理论严格定义导数，解决了微积分的逻辑漏洞，确立了现代导数概念。
极值产生于古代通过几何直观求解特殊图形的极值（如圆的面积最大）；17世纪导数创立后，牛顿、莱布尼茨提出极值求解的核心方法；19世纪通过严格的极限理论，完善了极值的充分判定定理（一阶导数法、二阶导数法）。
三、数列（等差、等比）的通项与求和
等差数列：古埃及、古巴比伦（公元前2000年左右）已用其解决粮食分配、建筑计数等实际问题；古希腊（公元前6世纪）毕达哥拉斯学派系统研究其规律，给出简单的求和技巧；公元3世纪 中国数学家刘徽、古希腊数学家欧几里得分别用算术方法推导了求和公式；17世纪笛卡尔引入代数符号后，通项与求和公式被表示为现代形式，成为通用定理。
等比数列：古巴比伦（公元前1800年左右）最早用其计算利息、物资倍增问题；古印度（公元5世纪）数学家阿耶波多给出等比数列的通项公式；阿拉伯（9世纪）花拉子米在《代数学》中系统总结等比数列的求和方法；16世纪欧洲数学家将其与指数运算结合，完善了现代形式的通项与求和公式，还发现了无穷等比数列的求和极限。
四、复数运算
复数源于16 世纪一元三次方程的求解，意大利数学家卡尔达诺首次引入 “虚数” 表示负数的平方根，解决了此前无法求解的方程问题，但当时并未被认可为 “真实的数”。18 世纪 欧拉引入虚数单位i，确立复数的代数形式a+bi，并推导了复数的四则运算规则；19 世纪 高斯、韦塞尔等数学家赋予复数几何意义（平面直角坐标系中的点 / 向量），彻底解决了复数的 “存在性” 争议，建立了完整的复数运算体系。
五、排列组合
排列组合的原始思想最早出现在古埃及、古巴比伦、中国的实际计数问题中（如物品分配、祭祀排列、棋局计数），均采用枚举法进行具体计算，无抽象公式。古希腊数学家欧几里得、毕达哥拉斯学派研究有限集合的元素搭配问题，提出简单的排列规律；古印度数学家在天文计算和梵文韵律研究中，总结出组合数的初步计算方法。17 世纪是排列组合体系的核心形成期，法国数学家帕斯卡和费马在研究概率论时，系统推导了组合数公式和帕斯卡三角（杨辉三角）的性质；瑞士数学家欧拉拓展了排列组合的应用范围，引入符号表示排列数与组合数；英国数学家棣莫弗最终确立了现代形式的排列、组合公式。
六、立体几何
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派研究了正多面体（正四面体、正六面体、正八面体）的性质，发现了这三种正多面体的存在；公元前4世纪，柏拉图在其著作中记载了五种正多面体（新增正十二面体、正二十面体），后被称为 “柏拉图立体”，并探讨了其对称性；公元前 3 世纪欧几里得（核心贡献者）在《几何原本》第 11—13 卷中，系统建立了立体几何的理论体系。阿基米德在欧几里得之后，进一步拓展了立体几何，精确计算了球体的表面积和体积公式，还研究了抛物面、双曲面的旋转体体积。
七、解析几何
公元前4世纪，亚里士多德提出力的平行四边形法则，蕴含向量合成思想。17世纪，牛顿在《自然哲学的数学原理》中用有向线段描述力、速度等物理量，奠定向量的物理基础。1797年，威塞尔用复平面点表示复数，将复数运算与向量几何结合，推动平面向量的几何表示发展。
公元前 3 世纪古希腊的阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中，用几何方法系统研究了抛物线、椭圆、双曲线的性质，他通过在平面上设定的 “参考线”（类似坐标轴）来描述曲线，这是坐标思想的早期萌芽；欧几里得在《几何原本》中，用代数思想解决几何问题，形成了 “几何代数化” 的初步尝试。
公元 5-15世纪阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》，完善了一元一次、二次方程的求解方法，将代数从 “文字描述” 推向 “符号化”；欧洲文艺复兴时期，数学家开始用字母表示未知数，为代数与几何的结合提供了符号工具。
16世纪法国数学家韦达创立符号代数，用字母表示常数和未知数，统一了代数运算的符号体系，这是解析几何诞生的核心代数基础；17世纪笛卡尔与费马做出了核心突破，解析几何的正式创立，这是 17世纪数学史上的重大革命。在18世纪荷兰数学家惠更斯、瑞士数学家欧拉完善了坐标系的符号与规则，形成了现代平面直角坐标系的形式；欧拉系统研究了函数的图像与方程的关系，将解析几何与微积分结合，用解析方法研究曲线的曲率、极值等问题。19世纪数学家们将解析几何从欧氏平面拓展到多维空间和非欧空间，研究高维曲面与非欧几何的代数表示；蒙日创立画法几何，将解析几何与工程制图结合，实现了理论到应用的转化。
八、统计与概率
离散型随机变量（分布列、期望）：离散型随机变量的思想雏形源于 17 世纪帕斯卡、费马对赌徒问题的研究，他们首次用数学方法分析随机事件的概率，但未提出 “随机变量” 的抽象概念；19 世纪拉普拉斯、泊松将随机现象的结果与数值建立对应，初步形成 “随机变量” 的认知；俄国数学家切比雪夫首次明确 “离散型随机变量” 的定义，将其与概率分布结合；20 世纪柯尔莫哥洛夫建立概率论的公理化体系，严格定义了离散型随机变量的分布列和数学期望，确立了核心计算公式与性质；
回归分析：回归分析的思想最早源于19世纪英国高尔顿对生物遗传的研究，他通过分析父母与子女的身高数据，发现了“回归到均值”的现象，这是“回归”一词的由来，也奠定了线性回归的雏形；高尔顿的学生皮尔逊将高尔顿的思想量化，提出了线性回归模型的初步形式，推导了简单线性回归的参数估计方法；20 世纪费歇尔将回归分析与方差分析、假设检验结合，完善了线性回归的参数估计和显著性检验方法，建立了经典线性回归的理论体系；20世纪中后期，随着计算机技术的发展，回归分析从简单线性回归拓展到多元线性回归、非线性回归，并衍生出岭回归、lasso 回归等正则化方法，适应了复杂数据的分析需求。
独立性检验：独立性检验的思想源于19 世纪末英国统计学家卡尔・皮尔逊对分类数据的研究，他为解决 “两个分类变量是否相关” 的问题，提出了卡方统计量，奠定了独立性检验的核心基础；皮尔逊系统推导了卡方统计量的计算公式和分布特征，明确了独立性检验的假设检验框架，将其从定性分析推向定量检验；20 世纪统计学家费歇尔对卡方检验进行了修正，完善了小样本情况下的检验准则，同时将独立性检验与假设检验的显著性水平、临界值等概念结合，建立了标准化的检验流程。
概率：概率思想最早源于17世纪欧洲的赌博问题，法国数学家帕斯卡与费马通过通信解决 “赌徒分金问题”，首次用数学方法分析随机事件的概率，奠定了概率论的萌芽基础；18 世纪瑞士数学家雅各布・伯努利系统研究了古典概型，提出 “大数定律” 的雏形，将概率从经验计算推向理论分析；19世纪法国数学家拉普拉斯在《概率的分析理论》中，完善了古典概率的计算方法，拓展了概率在天文、医学等领域的应用；泊松提出泊松分布，高斯建立正态分布理论，丰富了概率的模型体系；20世纪苏联数学家柯尔莫哥洛夫建立概率论的公理化体系，严格定义了概率的基本概念和公理，使概率论成为一门严谨的数学学科。
第五级 庶官 属底层官僚，收入稳定，有较高的社会地位，从本级开始与前四级产生了阶级分割。
微积分：多变量微积分、三重积分、向量微积分、微分方程、偏微分方程、泰勒级数、级数、收敛性
线性代数：向量空间、线性变换、特征值、特征向量、若尔当标准型
概率论与统计：概率统计深化（含随机过程基础）
数学分析基础：实分析（入门）、复分析（入门）、复函数
第六级 百司 属于中层官僚，衣食富足，有较强的社会影响力
进阶分析：测度论、泛函分析基础（巴拿赫空间、希尔伯特空间入门）
代数与几何：群论（基础）、拓扑学（入门）、度量空间、微分几何（入门）、伽罗瓦理论（入门）
应用数学：傅里叶级数、拉普拉斯变换、优化、参数方程、逆链式法则
其他：组合数学、博弈论、密码学（基础）、变分法（入门）
第七级 大夫 高级官僚 属于富裕阶层，社会地位显著
核心理论深化：实分析（高阶）、复分析（高阶）、全纯函数、黎曼曲面、代数拓扑、微分几何（高阶）
代数进阶：李代数、克利福德代数、广群、代数数论、格罗比纳基、布尔代数
几何与拓扑进阶：非欧几何、同胚、同伦、光滑流形、纽结理论、代数几何（入门）、射影簇
应用与交叉：随机微积分、控制理论、分形、混沌理论、自守形式、无穷小变换、E7李群
难题初探：千禧年难题（基础认知与相关领域入门）、四色定理、费马大定理、庞加莱猜想（理论背景学习）
第八级 公卿 属于三公级别，是核心官僚阶层 实现了高净值财务自由
高阶理论：辛几何、随机矩阵、上同调、同调镜像对称、复克莱因群、完美oid空间、间-万有泰希米勒理论
第九级 帝王 面南背北，九五之尊 一怒而天下惧
无理模式函数、系统熵反卷积、多维拓扑、一次性密码本解密、随机序列外推、P-NP问题、黎曼假设。